Rekenen met de klas in de lift

Dit verhaal speelt zich af op en rond een Montessoribasisschool waar het team voorzichtig een werkelijk begin wil maken met realistisch rekenwiskundeonderwijs. Voorzichtig, omdat de leerkrachten van de school een goede balans willen vinden tussen het vormgeven van het realistische rekenonderwijs en het Montessoriaanse karakter van de school. Bij het aldus ingezette proces van veranderen stond van meet af aan voorop dat het vernieuwde rekenwiskundeonderwijs geen halfwas compromis moest worden tussen Montessoriprincipes en die van het realistisch rekenwiskundeonderwijs. Het nieuwe rekenen moet integraal in de beoogde Montessoripraktijk passen, zodat het vernieuwen van het rekenen het vernieuwen van de Montessorischool ondersteunt en omgekeerd. De school waar we over schrijven is de Haarlemse Montessorischool ‘de Molenwiek’. Het inzetten van rijke wiskundige problemen was een van de ideeën die door de bovenbouwleerkrachten Ton en Ron werden aangegrepen als nieuw element in het rekenwiskundeonderwijs. Bij deze problemen hebben de kinderen veel inbreng in het oplossen en staan het betekenis geven aan en toepassen van wiskunde voorop. We bedachten dat het goed zou zijn het rijke probleem voor schooltijd duidelijk zichtbaar in de klas op te hangen. Dit zou de aandacht van de kinderen trekken. Die aandacht wordt vervolgens gebruikt om het probleem verder in te leiden en globaal te verkennen met de kinderen. Wie nu met het rijke probleem aan de slag wil gaan, mag dat doen en wij hopen natuurlijk dat dit veel kinderen zullen zijn. Tegen het eind van de dag wordt een aantal kinderen in de gelegenheid gesteld om hun oplossing aan de rest van de groep te presenteren.

Ton bedacht het eerste probleem dat aldus onder de aandacht van de kinderen gebracht zou worden. In liften wordt de maximale draagkracht altijd duidelijk aangegeven.

Ton, Ron en ikzelf, in de rol van nascholer, spreken dit gegeven verder met elkaar door. We gaan gedrieën op zoek naar een goede manier om kinderen met behulp van het liftbordje aan te zetten tot zinvolle wiskundige activiteiten. Er komen zo een aantal zaken naar voren:

–          de betekenis van de getallen op het liftbordje,

–          het gemiddelde gewicht van een persoon in de lift,

–          andere zaken die samen 1000 kilo wegen en dus in de lift kunnen,

–          het aantal kinderen dat in de lift zal passen,

–          het passen van de hele klas in de lift.

De vraag is nog niet geheel uitgekristalliseerd, wanneer Ton en Ron besluiten de zaak verder zelf vorm te geven. Zij maken een werkblad, zodat de kinderen het probleem voor zich zien en ruimte hebben voor uitwerkingen. Op het werkblad verschijnen uiteindelijk de volgende twee vragen: Wat betekent dit bord? Hoeveel weegt één persoon?

De les

Ton en Ron gaan beiden in hun groep met het liftprobleem aan de slag. Rons groep is een heterogene bovenbouwgroep met kinderen in groep 6, 7 en 8. Ton geeft de les aan een middenbouw, groep 3, 4 en 5. Beide presenteren ze het probleem kort aan de kinderen. Al snel blijkt dat alle kinderen wel iets weten van bordjes in de lift. Een aantal kinderen vertelt direct over zoemende zoemers bij overgewicht in de lift. De eerste vraag van het werkblad lijkt daarmee aan de orde. Het werkblad wordt dan ook uitgedeeld aan de kinderen die met het probleem aan de slag willen. Individueel en af en toe samenwerkend in tweetallen, om antwoorden en aanpakken te vergelijken, wordt vervolgens het probleem te lijf gegaan. Ton en Ron lopen rond om kinderen té helpen. Dit helpen blijkt toch nog nodig om bijvoorbeeld de betekenis van de getallen op het liftbordje correct te interpreteren. Zo denkt een van de kinderen dat er wordt gesuggereerd dat één persoon 1000 kg weegt. Het vragen naar de betekenis van een dergelijk getal en het inzetten van referenties over het gewicht van volwassenen leidt snel tot een ander inzicht. Een

ander kind interpreteert de getallen weer iets anders: in de lift passen 13 personen en daarbij nog eens 1000 kg goederen. Het is maar hoe je het afspreekt.

De kinderen gaan bij het beantwoorden van de tweede vraag vooral instrumenteel aan de slag. Ze maken staartdelingen. Dit geldt overigens niet voor de kinderen uit groep 5. Die zoeken naar een manier om handig te vermenigvuldigen. Ze kiezen eerst 30 kg als gewicht voor één persoon en verhogen dit stukje bij beetje (bijvoorbeeld door te verdubbelen) tot het totaal van 1000 is bereikt voor 13 personen (zie figuur 2). In de bespreking blijkt dat een aantal kinderen de context heel serieus neemt. Zij geven aan dat je moet oppassen met het rekenen. Als het even meer dan 1000 kg wordt dan kan het wel eens misgaan met de lift. Andere kinderen brengen hun praktijkkennis in. Als je zachtjes in de lift stapt doet die het soms gewoon toch, ook al zitten er te veel mensen in. En anders… dan gaat de zoemer en moet er een persoon uitstappen. In de klas van Ton

wordt nog verder betekenis gegeven aan de getallen op het bordje. Hij vraagt de klas of de personen op het liftbordje nu kinderen of volwassenen zijn. Dat is de kinderen duidelijk. Het gaat om volwassenen van ongeveer 70 kg. Omdat tijdens het zelfstandig werken de meeste kinderen de betekenis van het liftbordje ontdekten, wordt in de nabespreking verder vooral ingegaan op de aanpak bij het tweede probleem. Weer blijkt dat iedereen een grote voorkeur heeft voor het staartdelen. Ook enig nadrukkelijk aandringen van de leerkrachten brengt de kinderen niet op een ander idee. Ze) doe je dit gewoon.

Telkens blijkt overigens dat de interactie slecht op gang komt, omdat de kinderen niet gewend zijn om op deze manier met rekenproblemen om te gaan. Ze zijn vooral gefixeerd op het goede antwoord en het toepassen van een passend algoritme. Voor de kinderen lijkt het een hele omslag om plotseling kritisch te moeten kijken naar gevonden aanpakken en antwoorden.

 

Blikwisselen

Korte tijd later bespreek ik de les na met Ton en Ron. Zij lijken zich wat te storen aan het instrumentele oplosgedrag van de kinderen. Dat was nu juist niet bedoeld. Verder vinden Ton en Ron de opbrengst van het werken aan een rijk probleem wat mager. We besluiten de situatie daarom maar eens iets nauwkeuriger te analyseren. Al snel wordt zo duidelijk dat de gestelde vraag ‘hoeveel weegt één persoon?’ feitelijk maar één aanpak toelaat. Je moet zien dat het hier om de deling 1000 : 13 gaat en rekent het antwoord hiervan uit met de meest efficiënte aanpak die voorhanden is: je maakt een staartdeling of pakt eventueel een rekenmachine. De kinderen worden op die manier niet uitgedaagd om hun kennis rond maten en meten in te zetten. Voor het maken van het sommetje maakt het gewicht van de persoon niet zo veel uit. We zoeken naar een vraag die de kinderen wellicht wel op een spoor had gezet hun realiteit in te zetten bij het oplossen. We denken daarbij terug aan het begin. Past de hele klas in de lift, kwam toen als vraag naar voren. Als die vraag zou zijn gesteld, zo stellen we vast, moeten de kinderen bedenken hoeveel ze ongeveer wegen. Dat weten de kinderen of kunnen ze eenvoudig nagaan door een weegschaal te gebruiken. Daarbij is er een belangrijke reden om schattend te gaan rekenen: het nauwgezet sommeren van alle gewichten van de kinderen in de klas is een heel werk. Verder hoeft er bij dit nieuwe probleem niet per se een deling te worden gemaakt. Het vermenigvuldigen is hier ook een adequate aanpak. Als de kinderen namelijk ongeveer 30 kilo wegen en er zitten er 25 in de klas dan wegen ze samen 25 x 30 kg = 750 kg.

Aldus terugblikkend op de les lijkt het of we te laat bedenken wat een goede vraag zou kunnen zijn geweest. Maar helemaal te laat is het nog niet! We besluiten een tweede kans te grijpen. Ton en Ron stellen het liftprobleem nogmaals in hun groepen aan de orde. De kinderen waren geïnteresseerd in het probleem en zullen tegen een tweede beschouwing weinig bezwaar hebben. Bovendien is het liftprobleem ruim een week daarvoor aan de orde geweest. Reden om de situatie nogmaals kort in te leiden en iets te vertellen over de vragen en oplossingen die toen besproken werden. Al snel gaan Ton en Ron dan over op de nieuw bedachte vraag: Kan de hele klas in één keer met de lift mee?

Tweede kans

Deze vraag roept, zo stellen we vast, heel wat meer op dan de eerder gestelde vragen. Een deel van de kinderen richt zich bijvoorbeeld niet meer op de getallen op het bordje in de lift, maar neemt de oppervlakte van de liftvloer in beschouwing. Tja… dan kun je eigenlijk niet weten of je er met z’n allen in past. Je moet weten hoe groot de lift is om daar achter te komen. Een ander deel van de kinderen gaat toch bij het bordje te rade. Daarop, zo is de mening, staat toch heel duidelijk wat wel en niet mag. 13 personen is het maximale aantal, dus mag je er niet met de hele klas in. Dit houden de kinderen vol, ondanks de aanmoedigingen van Ron om het bordje op een iets andere manier te interpreteren.

De meeste kinderen hebben toch het idee dat je moet weten hoe zwaar iedereen in de klas is. Al die gewichten samen mogen niet meer dan 1000 kg zijn, zo weten de kinderen. Bij Ton in de les leidt dit tot het nauwkeurig wegen van alle kinderen èn van de leerkracht. De getallen die aldus verkregen zijn, worden opgeteld. De klas, inclusief de leerkracht, lijkt met enig gemak in de lift te kunnen.

De klas van Ron lijkt ook overtuigd van de noodzaak de gewichten van de kinderen te leren kennen. En… die kun je gewoon vragen, zo stelt een van de kinderen voor. Een van de andere kinderen lijkt dit toch wel erg

veel werk. Zij wijst op het uitrekenen van het gemiddelde: ‘En dan moet je gewoon 1000 gedeeld door 30 doen.’ Na enig heen en weer gepraat lijkt iedereen overtuigd van de kracht van deze aanpak en de waarde van de uitkomst van de deling: het gemiddelde gewicht van een kind mag niet zwaarder zijn dan ongeveer 33 kg. Maar daarmee is de kous nog niet af. Nu moet toch nog iedereen gewogen worden om na te kunnen gaan of het gemiddelde gewicht van de kinderen inderdaad minder dan 33 kg is. En aldus geschiedt. De kinderen worden gewogen en de gewichten worden opgeteld. De uitkomst van de optelling, 1050 kg, verraadt de uitslag: de klas is net iets te zwaar voor de lift.

Reflectie

Stemt de opbrengst van de tweede beschouwing van het liftprobleem nu tot tevredenheid, zo vragen wij ons af. We zetten de opbrengst van de twee lessen eens op een rij. Er werd bij een herkenbare situatie aanvankelijk een tamelijk gesloten vraag gesteld. De kinderen kozen, zo dit binnen hun bereik lag, voor de instrumentele aanpak van het staartdelen om een oplossing te vinden. De situatie werd vervolgens verrijkt door de kinderen zelf een rol te geven in het probleem. ‘Kan de hele klas met de lift mee?’, werd de nieuwe vraag. Dit bracht de context echt tot leven. De kinderen overdachten nogmaals de betekenis van het bordje in de lift en bedachten, dat het wegen van de kinderen ze snel dicht

bij de oplossing zou brengen. Met andere woorden, de kinderen voelden zich genoodzaakt de situatie zelf te mathematiseren, om in het verlengde van dit proces van verwiskundigen tot een oplossing te komen voor het gestelde probleem. Nog anders gezegd: blijkbaar was de tweede vraag open genoeg om de kinderen een stukje van hun eigen wiskunde te laten construeren, in plaats van eerder verworven vaardigheden instrumenteel toe te passen.

Er zijn echter voldoende redenen om ook kritisch te kijken naar het gebeuren in de twee lessen. Zo lijkt het gebruik van een weegschaal in de tweede les wel een mooie vinding van de

kinderen en goed te passen binnen het ideeëngoed van Montessori rond het concretiseren. Echter het brengt de kinderen wel af van het handig rekenen met het gemiddelde gewicht om, in het verlengde hiervan, schattend vermenigvuldigingen of delingen te maken. Verder doen de kinderen ook nauwelijks een beroep op door hen verworven referentiematen.

Wanneer de weegschaal niet aanwezig is, komt het aan op redeneren door de kinderen. Want wat moet je besluiten als nogal wat kinderen hun gewicht niet precies genoeg kennen en de andere gewichten variëren van 25 kg tot 40 kg? Halverwege de genoemde gewichten te gaan zitten, bij

voorbeeld door steeds een klein gewicht samen te nemen met een groot gewicht, vult dan de perceptie van wat het gemiddelde werkelijk is: dat wat er midden tussen zit. Aldus krijgt het meten en schatten nog een rijkere vulling. En verder krijgt echte interactie tussen leerkracht en kinderen dan veel meer kansen. En juist dit laatste lijkt goed te passen bij de manier waarop Maria Montessori haar onderwijs bedoeld heeft.

We bespreken de tweede les na. Ton grijpt deze bespreking aan om zijn eigen werkwijze te analyseren. Hij betrapt zichzelf er op dat hij kennelijk toch met een soort ingeslepen verborgen doel werkt. Ton: ‘Ik vond het goed dat die weegschaal er kwam, ik hoopte er zelfs op, omdat ik voor ogen had dat dit de goede uitwerking zou zijn, lekker actief eindigen met het concrete wegen, om vervolgens het tevreden gevoel te krijgen dat het lekker liep en de kinderen iets zinvols hebben ervaren.’ Ton realiseert zich pas achteraf dat zo het handig en schattend rekenen weinig kans heeft gekregen. Ton: ‘Dit soort ervaringen betekent voor mij dat je jezelf steeds weer moet toetsen of je wel (letterlijk) bij de les blijft.’ Ron formuleert voorzichtig wat deze ervaringen hem opleverden. Hij ervoer dat het niet eenvoudig is een dergelijke rijke context aan de orde te stellen; een gedegen overdenking vooraf is zeker nodig. Overigens is het beoogde rijke rekenwiskundeonderwijs dit volgens Ron wel waard. Ton reageert op Ron. Hij onderkent het belang van het samen met een collega en een nascholer overdenken van rijke contexten die je de kinderen wilt aanbieden. Aldus creëer je gezamenlijk een rijke bron aan probleemsituaties. Overigens moet het volgens Ton niet bij overdenken blijven: ‘De stap van het gewoon gaan doen is belangrijk. Wel van tevoren met elkaar bespreken, maar niet al te lang twijfelen om te beginnen.’

Niet alleen de kinderen leren zo van het beschouwen van de draagkracht van de lift. De leerkrachten krijgen op deze manier voldoende stof om hun rekenwiskundeonderwijs te overdenken. Door in twee klassen hetzelfde rijke probleem aan de kinderen voor te leggen, zijn de reacties van de kinderen blijkbaar een natuurlijk onderwerp voor bespreking tussen de betrokken teamleden. Daarmee ontstaat een natuurlijk proces van collegiale consultatie, waarin rekenwiskundeonderwijs wordt beschouwd en gemaakt. Daar kan dan bijvoorbeeld het besluit vallen om een rijk probleem een tweede kans te gunnen of om de opbrengst van reflecties op het onderwijs mee te nemen naar het ontwerpen en aanbieden van een volgende activiteit.

Af en toe is het goed dat een buitenstaander, zoals een nascholingsdocent, dit proces van collegiale consultatie kritisch volgt. Hij of zij denkt mee en geeft impulsen om tot blikwisselingen te komen. Welke vragen stimuleren kinderen hun eigen referenties in te zetten? Welke oplossingen verwacht je hier van de kinderen? Welke oplossingen wil je in de bespreking benadrukken? Et cetera. En zoals de leerkrachten benieuwd zijn naar de aanpakken van de kinderen, zo is de nascholer geïnteresseerd in de aanpak van de leerkrachten. En daarmee strekt het leerproces zich uiteindelijk ook uit tot het leren door de nascholingsdocent.